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42D崩溃的晚修

n次单位根

 

一.   复数的几何表示-----关于模和辐角

 

1.      复数的几何表示

 

(1) 我们可以作为平面上以a和b为坐标的点来画出每一个复数x=(a,b). 这个用它的点来代表复数平面称为复数平面.对应于数0的坐标原点简称为原点. 在这样的复数表示法下, 横轴上的点代表实数.而纵轴上的点表示纯虚数. 因此横轴称为实轴, 纵轴称为虚轴.

 

(2) 复数还可以用从原点出发的矢量a表示. 在这样的复数表示法下, 实数部分a与虚数部分的系数b就称为该矢量的分量.

 

2.      复数加法的几何意义

 

   设x和y是两个复数, 于是:

和数x+y可以表为它的分量等于矢量x和y的对应分量之和的矢量.

也就是说, 数a+b可以用以矢量a与b为相邻边的平行四边形的对角形表示.

 

3.      模与辐角的概念

 

设复数,x=a+bi,

                  r=(a^2+b^2)^(1/2),

                   

这个正数r叫做复数x的, 记作|x|. 与r为半径原点为中心的圆周上的点所表示的具有同一个模r.数0是唯一的以零为模的复数.

矢量x的方向是由Ox轴正方向与该矢量的方向间的交角确定的, 用q表示. 这个q称为复数x的辐角. 记作. arg x=q  有:           

                                            tan q=b/a .

对于每一个复数x, 它的辐角可以有无穷多个, 彼此间各差2\pi的若干倍. 数0是唯一的数, 其辐角没有定义. 我们有, 因此

                                  a=rcosq, b=rsinq,

                                  a+bi=r(cosq+isinq).

PS:

插入Q:为什么任意一个不为零的复数z=a+bi的辐角有无限多个值,且这些值之间相差2π的整数倍?

A:这里必须从复数的三角形式说z=a+bi   令r=√(a^2+b^2)=r(cosθ+isinθ)   其中sinθ=b/r     cosθ=a/r这里“θ”叫做复数z=a+bi的辐角,因为和θ终边相同的角都满足正弦值=b/r,余弦值=a/r故辐角有无限多个值,这些角相差一周或者一周的整数倍,所以这些值之间相差2π的整数倍。


n次单位根

1.  x^n-1的n个根

 

        \xi_k=cos{(2k\pi)/n}+isin{(2k\pi)/n}, k=0,1,...,n-1,

就是多项式x^n-1的n个根, 它们称为n次单位根.

2. n次单位根的性质

(1) 令\xi=\xi_1, 由上面关于复数辐角的讨论可知:

                   \xi_k=\xi^k.

 

(2) 对于每一个单位根\xi_k:

                    1+\xi_k+\xi_k^2+...+\xi_k^{n-1}=0.

 

(3) 对于每一个单位根\xi_k:

                 1+\xi_k+\xi_k^m+\xi_k^2m+\cdots +\xi_k^{n-1}m=0, 当n不整除m.

                 1+\xi_k+\xi_



还有这个

http://blog.miskcoo.com/2015/04/polynomial-multiplication-and-fast-fourier-transform#i-15

http://blog.csdn.net/leo_h1104/article/details/51615710

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